从弹性力学到薄板模型：2026年“弹性力学问题混合有限元方法”暑期课程圆满结束

　　2026年7月27日至8月6日，由北京大学数学科学学院与北京大学重庆大数据研究院联合主办的“弹性力学问题混合有限元方法”暑期课程在北京大学举行。来自全国高校和科研机构的青年教师、研究生及科研工作者齐聚燕园，围绕混合有限元方法的基础理论、前沿进展与程序实现，开展了为期十余天的学习与交流。

　　混合有限元方法是求解弹性力学、薄板弯曲及其他复杂偏微分方程的重要数值方法，在科学与工程计算中具有广泛应用。本次课程立足计算数学前沿，聚焦弹性力学问题中的数学建模、有限元构造与离散稳定性分析，旨在帮助学员建立系统的理论框架，深入理解力学模型与数值方法之间的内在联系。

　　本次课程由北京大学数学科学学院教授、党委书记，北京大学重庆大数据研究院院长胡俊教授，北京理工大学准聘教授马睿和北京大学长聘副教授吴朔男进行系统授课，内容涵盖有限元基础理论、线弹性混合有限元方法、Kirchhoff–Love薄板模型、重调和问题及分布有限元方法。大连理工大学雷娜教授和北京大学陈春雨博士分别带来了专题学术报告与有限元编程分享。

　　系统讲授混合有限元理论

　　胡俊教授首先系统讲授了有限元方法的基础理论，包括变分问题、有限元三要素以及Babuška理论与Brezzi理论等内容，帮助学员建立理解混合有限元方法所需的理论框架。在此基础上，他进一步围绕线弹性问题的数学模型、Hellinger–Reissner混合形式及对称应力有限元方法展开讲解，系统介绍了矩形网格和单纯形网格上的协调与非协调混合有限元，以及胡张元、宏单元方法和后验误差估计等内容。

　　其中，以胡张元为代表的弹性力学混合有限元方法，也是北京大学重庆大数据研究院在研产品“北达飞易新一代CAE算法引擎”核心算法体系的重要理论基础。

　　马睿教授从三维弹性力学出发，推导了Kirchhoff–Love薄板弯曲模型，讲解了板的曲率、弯矩及边界条件的力学含义，并进一步介绍了重调和问题的混合变分形式，以及较强连续性框架下混合有限元的构造、稳定性分析与误差估计，展现了从力学模型到数值离散的完整过程。

　　吴朔男副教授围绕具有最低连续性要求的混合有限元展开讲授，从广义迹和边界作用出发，介绍了有限元空间与自由度的设计思路。他还通过HHJ和TDNNS方法，讲解了不同混合形式中连续性在各个变量之间的分配方式，帮助学员进一步理解变分形式、函数空间与有限元构造之间的内在联系。

　　专题报告与编程实践

　　课程期间，大连理工大学雷娜教授带来了“基于最优传输的可解释深度学习理论及模型构建”专题报告，介绍了最优传输理论及其在生成模型、长尾分类、图像超分辨率和点云上采样等问题中的应用，拓展了学员对计算数学交叉研究的认识。

　　课程助教陈春雨博士进行了胡张元编程分享，介绍了单纯形网格的数据结构、有限元基函数、自由度管理和矩阵组装，并展示了胡张元从空间构造到程序求解的具体实现过程。

　　本次暑期课程兼顾基础理论、前沿方法与程序实践，为学员深入了解混合有限元方法、拓展科研视野搭建了良好的学习交流平台。

　　未来，研究院将继续发挥数学理论、算法研究与工程应用相结合的优势，持续开展高水平学术交流与人才培养活动，推动原创算法与国产工业仿真软件深度融合，为高端科学计算和自主可控CAE软件发展提供人才与技术支撑。